Online-Trainer Nr. 4 zu Algebraischen Strukturen

Aussagen zur Teilbarkeit

Welche der folgenden Aussagen sind wahr und welche sind falsch?

Die Zahlen 2023 und 6137 sind teilerfremd.

Hier berechnet man einfach den ggT (größten gemeinsamen Teiler) der Zahlen mittels des Euklidischen Algorithmus: \[ \begin{aligned} 6137 &= 2023 \cdot 3 + 68\\ 2023 &= 68 \cdot 29 + 51\\ 68 &= 51 \cdot 1 + 17\\ 51 &= 17 \cdot 3 + 0 \end{aligned} \]

Falsch: die Zahlen sind nicht Teilerfremd, da sie \(17\) als größten gemeinsamen Teiler haben.

Online-Trainer Nr. 3 zu Graphentheorie

Gradfolgen

Welche Folgen sind Gradfolgen eines Graphen?

1. Die Folge \((1,1,2,4,4)\) ist keine Gradfolge eines Graphen.

Angenommen, \(G\) sei ein Graph mit Gradfolge \((1, 1, 2, 4, 4)\). Es gibt \(5\) Ecken, davon haben zwei Grad \(4\), sind also mit jeder anderen Ecke verbunden. Damit hat aber jede Ecke in \(G\) mindestens Grad \(2\).

2. Die Folge \((1,1,2,3,3)\) ist Gradfolge eines Graphen.

Man kann diesen malen. Beispiel aus dem Quiz:

Online-Trainer Nr. 2 zu Rekursionsgleichungen

Lösen linearer Rekursionsgleichungen

Wir betrachten die Rekursionsgleichung \[x_0 = 2, x_n = 3x_{n-1}-4.\] Dies ist eine lineare Rekursionsgleichung der Ordnung \(1\) und es gilt

\(x_1 = {2}\), \(x_2 = {2}\), \(x_3 = {2}\)

Bestimmen Sie nun eine geschlossene Formel für die Zahlen \(x_n\).

\(x_n = {0} \cdot 3^n + {2}\)

Die Gleichung ist linear, da alle Summanden feste Zahlen sind. Die Ordnung ist 1, da immer nur “ein Schritt zurück” gerechnet wird. Wir rechnen kurz die ersten Werte: \[ \begin{aligned} x_1 &= 3(2)-4 = 2\\ x_2 &= 3(2)-4 = 2\\ x_3 &= 3(2)-4 = 2\\ \vdots&\\ x_n &= 2 \end{aligned} \]

Online-Trainer Nr. 1 zu Kombinatorik

Buchstaben kombinieren

Gesucht sei die Anzahl der verschiedenen Wörter mit \(8\) Buchstaben aus dem Alphabet mit den Buchstaben \(a,b,c,d,e\), welche genau \(3\) mal den Buchstaben \(e\) und genau \(4\) mal den Buchstaben \(a\) enthalten.

Die Lösung ist hier ähnlich zu einer Aufgabe von Übungsblatt 2:

\[ \binom{8}{3} \cdot \binom{5}{4} \cdot 3^1 = 840 \]

Der erste Binomialkoeffizient wählt drei \(e\)s aus acht möglichen Buchstaben. Der zweite wählt dann vier \(a\)s aus den restlichen fünf stellen. Für die letzte Stelle kann man einen beliebigen Buchstaben aus der Menge \(\{b,c,d\}\) wählen.