Allgemeiner Spickzettel

Wichtige Rechenregeln

Brüche

Kreuzweise Multiplikation

Jede Seite mit dem Nenner der anderen multiplizeren, dadurch fällt der Nenner weg.

\begin{align} \frac{a}{b} &= \frac{c}{d}\\ \frac{a \cdot d}{b \cdot d} &= \frac{c \cdot b}{d \cdot b}\\ a \cdot d &= c \cdot b \end{align}

Beispiel

\begin{align} \frac{x+3}{2} &= \frac{x+1}{4}\\ 4(x+3) &= 2(x+1)\\ 4x+12 &= 2x+2\\ 4x &= 2x-10\\ 2x &= -10\\ x &= -5 \end{align}

Doppelbruch

\[\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}\]

Reihen

Konvergenz- und Divergenzkriterien von Reihen

Eine notwendige Bedingung für das Konvergieren von Reihen, ist dass die Folge eine Nullfolge ist.

\begin{equation} \lim_{k \to \infty} a_k = 0 \end{equation}

Geometrische Reihen

\begin{equation} \sum_{k=1}^\infty q^{k} = \begin{cases} \frac{q^m}{1-q} & |q| < 1\\ \text{divergiert} & |q| \geq 1 \end{cases} \end{equation}

Harmonische Reihen

\begin{equation} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^s} = \begin{cases} \text{konvergiert} & s > 1\\ \text{divergiert} & s \leq 1 \end{cases} \end{equation}

Wurzelkriterium

Man kann \(\sum_{k=0}^\infty a_k\) umschreiben als \begin{equation} \lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{|a_k|} = \begin{cases} \text{konvergiert} & < 1\\ \text{divergiert} & > 1\\ \text{keine Aussage} & = 1 \end{cases} \end{equation}

Taylorpolynome

Allgemeine Formel für Taylorpolynome

Die Formel für das Taylorpolynom der Ordnung \(n\) um den Entwicklungspunkt \(x_0\) lautet

\begin{align} P_{x_0, n} &= f(x_0) + f^\prime (x_0)(x-x_0) + \frac{f^{\prime \prime} (x_0)}{2!} (x-x_0)^2 \dots\\ &= \sum_{k=0}^n \frac{f^k (x_0)}{k!} \cdot (x-x_0)^k \end{align}

Beispiel

Berechnen Sie das Taylorpolynom von \(f(x) = e^x\) vom Grad \(n\) um den Entwicklungspunkt \(0\).

Wir wissen, dass \(e^0 = 1\). Praktisch ist, dass \(f^\prime(x) = f^{\prime \prime}(x) = f^n(x) = e^x\) und somit für jede Ableitung \(f^n(0) = 1\) gilt.

Uneigentliche Integrale

Bei uneigentlichen Integralen werden limes benutzt, um Grenzwerte von Asymptoten oder Singularitäten zu berechnen. Zum Verständnis kann ich nur MatheMatricks Video dazu empfehlen.

Beispiel

\[\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} \operatorname{d}x\]

Der Bruch sollte bekannt sein: \(\int \frac{1}{1+x^2} \operatorname{d}x = \arctan x\). Da der Anfangs- und Endwert unbeschränkt sind, ist es Sinnvoll das Integral mit zwei Limes in der »Mitte« (also \(x=0\)) aufzusplitten: \[ = \lim_{a \to -\infty} \int_a^0 \frac{1}{1+x^2} \operatorname{d}x + \lim_{b \to \infty} \int_0^b \frac{1}{1+x^2} \operatorname{d}x. \] Nun kann man seperat die uneigentlichen Integrale berechnen. Wir wissen dass \(\arctan(-\infty) = -\frac{\pi}{2}\), weil \(\lim_{\theta \to \left( -\frac{\pi}{2}\right)} \tan \theta = -\infty\) bzw. \(\frac{\sin \left( -\frac{\pi}{2}\right)}{\cos \left( -\frac{\pi}{2}\right)} = \frac{-1}{0}.\) Ähnliches gilt (natürlich mit anderem Vorzeichen) für \(\arctan \infty.\)

Integration

Partielle Integration

\begin{equation} \int u~dv \implies uv - \int vdu \end{equation}

Beispiel

\begin{equation} \int x \arctan{x}dx = \int (\arctan{x}) (xdx) \end{equation}

Wir wählen \(u = \arctan{x}\) und \(dv = x~dx\).

Somit gilt \(du = \frac{1}{1+x^2}\) und \(v = \frac{x^2}{2}\).

\begin{align} \frac{x^2}{2}\cdot \arctan{x} - \int \frac{1}{1+x^2} \cdot \frac{x^2}{2}dx\\ \frac{x^2}{2}\cdot \arctan{x} - \frac{1}{2} \int \frac{1}{1+x^2} \cdot x^2dx\\ \end{align}

Weiter können wir rechnen: \begin{align} \frac{1}{1+x^2} \cdot x^2 &= \frac{x^2+1}{1+x^2} - \frac{1}{1+x^2}\\ &= 1 - \frac{1}{1+x^2} \end{align} und wissen somit \begin{align} \frac{x^2}{2}\cdot \arctan{x} - \frac{1}{2} \int 1 - \frac{1}{1+x^2}~dx\\ \frac{x^2}{2}\cdot \arctan{x} - \frac{1}{2} x - \arctan{x}\\ \end{align}

Lagrange-Multiplikator

Suche von Extremstellen einer Funktion \(f\) mit der Nebenbedingung \(s\).

1. \(f\) muss stetig sein
2. \(s\) muss eine kompakte Menge darstellen können (also abgeschlossen & beschränkt)

Dann gilt \begin{equation} \mathcal{L} (x_0, y_0, \lambda_0) = \nabla f \cdot \lambda \nabla g \end{equation} beziehungsweise um den Nullpunkt zu finden \begin{equation} \nabla f = \lambda \nabla g \end{equation}